Numerus complexus

Numerus complexus^[1] est numerus formae ${\displaystyle a+bi}$, ubi ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$ sunt numeri reales et ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$. Ipsum a dicitur illius numeri pars realis, b pars imaginaria. Quamquam alii numeri complexi "reales", alii "imaginarii" ex more nominantur, tamen omnes aequaliter veri sunt.

Secundum theorema fundamentale algebrae, numeri complexi sunt necessarii et sufficientes ad omnes aequationes algebraicas polynomiales exsolvendas. Tales aequationes algebraicae polynomiales sunt forma

${\displaystyle \sum _{j=1}^{N}a_{j}\,x^{j}=0}$,

ubi numerus integer N dicitur gradus aequationis. Theorema algebraicum fundamentale ergo dicit aequationi gradu N esse exactiter N solutiones distinctas. Hoc est, numeri complexi sunt corpus completum.

Exempli gratia, consideremus duas aequationes polynomiales gradu secundo:

${\displaystyle x^{2}+1=0\,}$

et

${\displaystyle x^{2}+2x+3=0\,}$.

Hoc duo exempla sunt insolubilia solo numeris realibus utendo, quod nullus numerus realis quadratus potest esse negativus. Solutiones primae aequationi sunt x = ±i et secundae aequationi x = -1 ± i.

Quamquam numeri reales in linea exhibiti possunt, numeri complexi non possunt: ordinem non habent. Hoc est, non possumus dicere utrum ${\displaystyle a_{1}+b_{1}i>a_{2}+b_{2}i.}$ Hi numeri ergo in planitie exhibuntur, pars realis in axe horizontali, pars imaginaria in axe verticali.

Alia forma numeri complexi nominandi systemate polare utitur. Pro partibus a et b habemus angulum, vel directionem, et magnitudinem vel modulum. Si θ est angulus et r est modulus, habemus

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=r^{2}}$

${\displaystyle {\frac {b}{r}}=\sin(\theta )}$

${\displaystyle {\frac {a}{r}}=\cos(\theta )}$

Si ${\displaystyle z=a+bi}$ est numerus complexus, alius numerus ${\displaystyle {\bar {z}}=a-bi}$ illi numero z coniunctus^[2] vocatur. Tunc ${\displaystyle z+{\bar {z}}}$ et ${\displaystyle z{\bar {z}}}$ sunt numeri reales, quod ${\displaystyle z+{\bar {z}}=2a,z{\bar {z}}=a^{2}+b^{2}.}$