Taisyklingasis briaunainis

Taisyklingasis briaunainis – labai simetriška geometrinė trimatė figūra, kurios vienarūšiai gretimi elementai yra tranzityvūs: viršūnės, briaunos ir sienos. Vadinasi, pasukus per vieną elementą (kad viršūnė atsidurtų vietoj gretimos viršūnės; arba briauna – vietoj gretimos briaunos; arba siena – vietoj gretimos sienos) gausime tokį pat briaunainį. Kitaip galima apibrėžti, kad taisyklingas briaunainis yra toks briaunainis, kurio sienos yra vienodi lygiakraščiai taisyklingieji daugiakampiai, vienodai išsidėstę aplinkui kiekvieną viršūnę. Labai formaliai (pagal šiuolaikinę politopų teoriją) taisyklingasis daugiakampis yra toks ir tik toks briaunainis, kurio simetrijos grupė yra tranzityvi jo „simetriškumo žymeniui“ (angl. flag) (tai yra, aibei, kurią sudaro viršūnė, iš jos išeinanti briauna ir šią viršūnę ir briauną liečianti siena).

Taisyklingieji briaunainiai žymimi tokiu Šlėfli simboliu: {n, m}, kur n yra sienos daugiakampio kraštinių skaičius, o m vienoje viršūnėje sueinančių sienų skaičius. Įrodyta, kad iš viso egzistuoja tik devyni taisyklingieji briaunainiai: penki iškili briaunainiai, vadinamieji Platono kūnai (tetraedras {3, 3}, kubas {4, 3}, oktaedras {3, 4}, dodekaedras {5, 3} ir ikosaedras {3, 5}; ir keturi žvaigždiniai briaunainiai, vadinamieji Keplerio-Puanso kūnai (žr. žemiau lentelėje).