Bovengrens en ondergrens

In de wiskunde is een bovengrens of majorant van een deelverzameling ${\displaystyle S}$ van een partieel geordende verzameling ${\displaystyle V}$ een element ${\displaystyle g\in V}$ waarvoor geldt dat ${\displaystyle x\leq g}$ voor alle ${\displaystyle x\in S}$. Als er een bovengrens is van ${\displaystyle S}$, heet ${\displaystyle S}$ een naar boven begrensde deelverzameling van ${\displaystyle V}$.

Op analoge wijze is een ondergrens of minorant van ${\displaystyle S}$ gedefinieerd als een element ${\displaystyle k\in V}$ waarvoor geldt dat ${\displaystyle x\geq k}$ voor alle ${\displaystyle x\in S}$. Als er een ondergrens is van ${\displaystyle S}$, heet ${\displaystyle S}$ een naar onder begrensde deelverzameling van ${\displaystyle V}$.

In de analyse geldt eveneens dat een bovengrens van een functie ${\displaystyle f\colon A\to B}$ een getal ${\displaystyle g}$ is, waarvoor geldt dat ${\displaystyle f(x)\leq g}$ voor alle ${\displaystyle x\in A}$. Ook hier geldt het analoge voor de ondergrens: ${\displaystyle f(x)\geq k}$ voor alle ${\displaystyle x\in A}$.

Een functie met een bovengrens heet ook naar boven begrensd. Een functie met een ondergrens heet naar onder begrensd. Een begrensde functie heeft zowel een ondergrens als een bovengrens.