Gaussiaanse kromming

In de differentiaalmeetkunde, een deelgebied van de meetkunde, is de Gaussiaanse kromming of Gauss-kromming van een punt op een oppervlak het product van de hoofdkrommingen, κ₁ en κ₂, van dit gegeven punt. Het is een 'intrinsieke' maat van kromming, dat wil zeggen dat de waarde ervan alleen afhangt van hoe afstanden worden gemeten op het oppervlak, en niet van de manier waarop een punt op een oppervlak is ingebed in de ruimte. Dit resultaat is de inhoud het theorema egregium van Gauss.

Symbolisch wordt de Gaussiaanse kromming Κ gedefinieerd als

${\displaystyle \mathrm {K} =\kappa _{1}\kappa _{2}}$.

waar ${\displaystyle \kappa _{1}}$ en ${\displaystyle \kappa _{2}}$ de hoofdkrommingen zijn.

De Gaussiaanse kromming wordt ook gegeven door

${\displaystyle \mathrm {K} ={\frac {\langle (\nabla _{2}\nabla _{1}-\nabla _{1}\nabla _{2})\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}\rangle }{\det g}}}$,

waar ${\displaystyle \nabla _{i}=\nabla _{{\mathbf {e} }_{i}}}$ de covariante afgeleide en g de metrische tensor is.

Op een punt p op een regelmatig oppervlak in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ wordt de Gaussiaanse kromming gegeven door

${\displaystyle K(\mathbf {p} )=\det(S(\mathbf {p} ))}$,

waar S de vormoperator is.

Een bruikbare formulering voor de Gaussiaanse kromming is de vergelijking van Liouville in termen van de Laplaciaan in isotherme coördinaten.