Machtsverheffen

Rekenkundige bewerkingen

Optellen (+) ${\displaystyle \scriptstyle {\text{term}}\,+\,{\text{term}}\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{som}}}$ Aftrekken (−) ${\displaystyle \scriptstyle {\text{term}}\,-\,{\text{term}}\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{verschil}}}$ Vermenigvuldigen (×) ${\displaystyle \scriptstyle {\text{factor}}\,\times \,{\text{factor}}\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{product}}}$ Delen (÷) ${\displaystyle \scriptstyle \left.{\begin{matrix}\scriptstyle {\frac {\scriptstyle {\text{deeltal}}}{\scriptstyle {\text{deler}}}}\\[1ex]\scriptstyle {\frac {\scriptstyle {\text{teller}}}{\scriptstyle {\text{noemer}}}}\end{matrix}}\right\}\,=\,}$ ${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}{\text{quoti}}{\ddot {\text{e}}}{\text{nt}}\\{\text{breuk}}\end{matrix}}\right.}$ Machtsverheffen (^) ${\displaystyle \scriptstyle {\text{grondtal}}^{\text{exponent}}\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{macht}}}$ Worteltrekken (√) ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt[{\text{n-de graad}}]{\scriptstyle {\text{radicandus}}}}\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{wortel}}}$ Logaritme (log) ${\displaystyle \scriptstyle \log _{\text{grondtal}}({\text{argument}})\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{logaritme}}}$

b o w

Machtsverheffen is een wiskundige bewerking van de derde orde, die wordt geschreven als ${\displaystyle x^{n}}$, waarbij twee getallen, het grondtal of de factor ${\displaystyle x}$ en de exponent n, betrokken zijn. Als ${\displaystyle n}$ een positief geheel getal is, komt machtsverheffen overeen met herhaalde vermenigvuldiging, met andere woorden, een product van ${\displaystyle n}$ factoren van ${\displaystyle x}$:

${\displaystyle x^{n}=\underbrace {x\times \ldots \times x} _{n\ {\text{keer}}}}$,

net zoals vermenigvuldiging met een positief geheel getal overeenkomt met herhaald optellen:

${\displaystyle n\times x=\underbrace {x+\ldots +x} _{n\ {\text{keer}}}}$

De uitdrukking ${\displaystyle x^{n}}$ heet macht van ${\displaystyle x}$, het is de ${\displaystyle n}$-de macht van ${\displaystyle x}$. Deze uitdrukking wordt uitgesproken als: ${\displaystyle x}$ tot de macht ${\displaystyle n}$, of kortweg ${\displaystyle x}$ tot de ${\displaystyle n}$-de. Zo is ${\displaystyle 2}$ tot de macht ${\displaystyle 3}$, ofwel ${\displaystyle 2}$ tot de derde: ${\displaystyle 2^{3}=2\times 2\times 2=8}$, met ${\displaystyle 2}$ als het grondtal en ${\displaystyle 3}$ als de exponent. Het berekenen van een macht ${\displaystyle x^{n}}$ kan vaak efficiënt worden uitgevoerd door de machten van x herhaald te kwadrateren.

De definitie van machtsverheffen kan op een natuurlijke manier worden uitgebreid, met behoud van de vermenigvuldigingsregel. Machtsverheffen is ook mogelijk met een complex grondtal en een complexe exponent, en zelfs bij bepaalde typen matrices als grondtal of exponent. Machtsverheffen wordt algemeen gebruikt in veel vakgebieden, waaronder economie, biologie, scheikunde, natuurkunde en informatica. Het komt voor toepassingen als renteberekeningen, curves van bevolkingsgroei, chemische reactiekinetiek en asymmetrische cryptografie.