Pad (topologie)

In de topologie, een onderdeel van de wiskunde, is een pad door een topologische ruimte X een continue afbeelding f van het eenheidsinterval I = [0,1] op X.

f : I → X.

Het beginpunt van het pad is f(0) en het eindpunt f(1). Men spreekt vaak van een pad van x naar y, waarbij x en y de begin- en eindpunten van het pad zijn. Merk op dat een pad niet alleen een deelverzameling van X is die op een kromme lijkt, maar dat het pad ook een parametrisatie kent. De afbeeldingen f(x) = x en g(x) = x² vertegenwoordigen bijvoorbeeld twee verschillende paden van 0 naar 1 op de reële getallenlijn. Verschillende paden kunnen dezelfde verzameling punten afleggen.

Een lus in een ruimte X kan als een continue afbeelding f : I → X worden beschouwd waar f(0) = f(1), of als een continue afbeelding van de eenheidscirkel C op X

f : C → X.

Dit is omdat C als een quotiënt van I kan worden beschouwd onder de identificatie 0 ~ 1. De verzameling van alle lussen in X vormen een ruimte, die de lusruimte van X wordt genoemd. Van een topologische ruimte, waarvoor er voor alle paren punten een pad bestaat dat die twee met elkaar verbindt, wordt gezegd dat deze samenhangend is. Iedere ruimte kan in een verzameling worden opgesplitst van samenhangende componenten. De verzameling van samenhangende componenten van een ruimte X wordt vaak aangeduid door π₀X.

Men kan paden en lussen ook in gepunte ruimten definiëren, die in de theorie van homotopieën belangrijk zijn. Als X een topologische ruimte is met basispunt x₀, dan is een pad in X een pad, waarvan het initiële punt in x₀ ligt. Op soortgelijke wijze is een lus in X een lus, die op x₀ is gebaseerd.