Riemann-hypothese

In de getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, impliceert de riemann-hypothese of het riemann-vermoeden resultaten over de verdeling van de priemgetallen. Het vermoeden werd in 1859 door Bernhard Riemann geformuleerd. Het vermoeden houdt in dat het reële deel van alle niet-triviale nulpunten van de riemann-zèta-functie gelijk is aan ½.

De riemann-zèta-functie ${\displaystyle \zeta (s)}$ is een functie, waarvan het argument ${\displaystyle s}$ ieder complexe getal kan zijn behalve 1, en waarvan de waarden ook complex zijn. De functie heeft nulpunten op de negatieve even gehele getallen, dat wil zeggen, ${\displaystyle \zeta (s)=0}$ als ${\displaystyle s}$ gelijk is aan −2, −4, −6, ... Deze getallen noemt men de triviale nulpunten. De negatieve even gehele getallen zijn niet de enige waarden waarvoor de riemann-zèta-functie nul is en de andere noemt men de niet-triviale nulpunten. De riemann-hypothese gaat over de plaats van deze niet-triviale nulpunten en is:

Het reële deel van elk niet-triviaal nulpunt van de riemann-zèta-functie is ½.

De niet-triviale nulpunten moeten dus op de lijn ${\displaystyle \Re (s)={\frac {1}{2}}}$ liggen die wordt gedefinieerd door de complexe getallen ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+it}$, waarin t een reëel getal is en i de imaginaire eenheid.

Veel andere belangrijke resultaten uit de wiskunde zijn erop gebaseerd dat de riemann-hypothese, en haar generalisaties, waar zijn. De riemann-hypothese is dus een empirische stelling.^[1] Het geldt als een van de belangrijkste onopgeloste problemen in de wiskunde.^[2] De riemann-hypothese maakte in 1900 samen met het vermoeden van Goldbach deel uit van het achtste probleem uit David Hilberts lijst van 23 onopgeloste problemen. Het is ook een van de zeven wiskundige vraagstukken waarvoor het Clay Mathematics Institute in 2000 een Millennium Prize van $1.000.000 heeft uitgeloofd voor het eerste correcte bewijs van de hypothese.^[3]

1. ↑ J. E. Littlewood en Atle Selberg zouden sceptisch zijn. Maar Selberg suggereerde in een artikel uit 1989 dat een analogon moet gelden voor een grotere klasse van functies, de Selberg-klasse.
2. ↑ (en) Enrico Bombieri, The Riemann Hypothesis - official problem description , Clay Mathematics Institute.
3. ↑ Keith J. Devlin, The Millennium Problems: The Seven Greatest Unsolved Mathematical Puzzles of Our Time, Basic Books, 2002, ISBN 0-465-01729-0.