Charakter Dirichleta

W analitycznej teorii liczb funkcja arytmetyczna ${\displaystyle \chi \colon \mathbb {N} \to \mathbb {C} }$ nazywana jest charakterem Dirichleta modulo ${\displaystyle q}$^[1], jeśli dla ustalonej liczby naturalnej ${\displaystyle q}$ i wszystkich liczb całkowitych ${\displaystyle a,b}$ spełnia warunki:

1. ${\displaystyle \chi (ab)=\chi (a)\chi (b),}$ tzn. jest całkowicie multiplikatywna.
2. ${\displaystyle \chi (a)\neq 0}$ jeśli ${\displaystyle (a,q)=1}$ oraz ${\displaystyle \chi (a)=0}$ jeśli ${\displaystyle (a,q)>1,}$ gdzie ${\displaystyle (x,y)}$ oznacza największy wspólny dzielnik ${\displaystyle x}$ i ${\displaystyle y.}$
3. ${\displaystyle \chi (a+q)=\chi (a)}$ – ma okres ${\displaystyle q.}$

Najprostszym przykładem charakteru Dirichleta jest charakter pryncypialny, zadany przez

${\displaystyle \chi (a)={\begin{cases}1,\quad (a,q)=1\\0,\quad (a,q)>1.\end{cases}}}$

Najczęściej jest on zapisywany jako ${\displaystyle \chi _{0}}$.

W ogólności, dla każdej liczby całkowitej ${\displaystyle q>1}$ istnieje dokładnie ${\displaystyle \varphi (q)}$ (tocjent) różnych charakterów Dirichleta mod ${\displaystyle q}$. Są to ${\displaystyle \chi _{1},\;\chi _{2},\;\ldots ,\;\chi _{\varphi (q)}}$ (lub ${\displaystyle \chi _{0},\;\chi _{1},\;\ldots ,\;\chi _{\varphi (q)-1}}$) dane przez ${\textstyle \chi _{r}(n)=\exp \left({a{\frac {2\pi i}{\varphi (q)}}}\right)}$ dla pewnej liczby całkowitej ${\displaystyle a}$ zależnej od ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle r}$ i ${\displaystyle q}$ dla ${\displaystyle (n,q)=1}$ oraz ${\displaystyle \chi _{r}(n)=0}$ dla ${\displaystyle (n,q)>1}$.