Funkcja

Ten artykuł dotyczy pojęcia matematycznego. Zobacz też: inne znaczenia słowa „funkcja”.

Funkcja (łac. functio, -onis „odbywanie, wykonywanie, czynność”^[a]), odwzorowanie^[1][2], przekształcenie^[3], transformacja^[4] – pojęcie matematyczne używane w co najmniej dwóch zbliżonych znaczeniach:

• dla danych dwóch zbiorów ${\displaystyle X}$ i ${\displaystyle Y}$ funkcją nazywano każde przyporządkowanie^[b] elementom zbioru ${\displaystyle X}$ po jednym elemencie zbioru ${\displaystyle Y}$^[c][5];
• zazwyczaj wymaga się też, aby to przypisanie dotyczyło każdego elementu zbioru ${\displaystyle X}$^[6]. Wtedy obiekty spełniające tylko pierwszy warunek są znane jako funkcje częściowe.

Funkcje oznacza się na ogół literami ${\displaystyle f,g,h}$ itd. Jeśli funkcja ${\displaystyle f}$ przyporządkowuje elementom zbioru ${\displaystyle X}$ elementy zbioru ${\displaystyle Y,}$ to pisze się: ${\displaystyle f\colon X\to Y.}$ W kontekście każdej funkcji używa się kilku podstawowych pojęć:

• zbiór ${\displaystyle X}$ nazywa się dziedziną funkcji f, przy czym ten termin ma też inne znaczenie opisane w linkowanym artykule. Inna nazwa to zbiór argumentów^[2], ponieważ jego każdy element ${\displaystyle x}$ nazywa się argumentem tej funkcji^[2] lub zmienną niezależną;
• zbiór ${\displaystyle Y}$ to przeciwdziedzina tej funkcji ${\displaystyle f}$ lub jej zbiór wartości^[2], przy czym te terminy mają też inne znaczenie – por. linkowane artykuły. Każdy element ${\displaystyle y=f(x)}$ nazywa się wartością funkcji^[2] lub zmienną zależną^[7].

Funkcje to szczególne przypadki relacji binarnych. Relacja ${\displaystyle R}$ jest funkcją, jeśli spełnia dwa warunki, poniżej zapisane za pomocą kwantyfikatorów^[2]:

1. jednoznaczność^[8]: ${\displaystyle \forall x\in X,y_{1},y_{2}\in Y:[xRy_{1}\wedge xRy_{2}\Rightarrow (y_{1}=y_{2})],}$
2. ${\displaystyle \forall x\in X\ \exists y\in Y:xRy.}$

Przez to funkcje rozumiane szeroko są też znane jako relacje jednoznaczne^[9]. Teoria mnogości definiuje relacje za pomocą iloczynu kartezjańskiego zbiorów, czyli zbioru par uporządkowanych: ${\displaystyle R\subseteq X\times Y.}$

Termin funkcja pojawił się w matematyce w XVII wieku, po czym kolejni uczeni nadawali mu nowe znaczenia^[6]. Leonhard Euler w osiemnastym wieku był pierwszym matematykiem, który użył wpółczesnego oznaczenia funkcji^[10]. Euler używał dwóch definicji funkcji, pierwsze jako analityczne wyrażenie (formuła), zawierajaca stałe oraz zmienne. Druga definicja to zmienna zależna od innej zmiennej. Takie samo podejście można znaleźć w książkach Lagrange’a. Drugie podejście, z drobnymi zmianami, było używane przez późniejszych matematyków, takich jak Cauchy, Fourier, Drichlet, czy Riemann^[11].

Funkcje stały się jednym z podstawowych i najważniejszych pojęć całej nowożytnej matematyki^[6] i innych nauk ścisłych; funkcje:

• są głównym przedmiotem badań analizy;
• pozwoliły zdefiniować jedno z podstawowych pojęć kombinatoryki i teorii mnogości: moc zbioru^[12].
• pojawiają się w logice matematycznej w postaci funkcji zdaniowych (predykatów) i innych funktorów;
• stały się jednym z fundamentów informatyki, gdzie nazywa się tak odmianę procedury; powstałe całe metody programowania oparte na tym pojęciu jak programowanie funkcyjne;.

Opisano dziesiątki odmian funkcji; niezależnie od dziedziny i przeciwdziedziny można wyróżnić funkcje różnowartościowe (iniekcje), funkcje „na” (suriekcje) oraz przecięcie tych dwóch zbiorów – funkcje wzajemnie jednoznaczne (bijekcje). Inne typy definiuje się m.in. za pomocą konkretnej dziedziny lub przeciwdziedziny, co opisano w dalszych sekcjach. Zbiór wszystkich funkcji ze zbioru ${\displaystyle X}$ do zbioru ${\displaystyle Y}$ oznacza się ${\displaystyle Y^{X}}$^[2].