Liczby naturalne

Niektóre z zamieszczonych tu informacji wymagają weryfikacji.

Uwagi: a) Jak Eudoksos zdefiniował liczby rzeczywiste, nie mając definicji liczb naturalnych? Naiwnie, intuicyjnie: przez długi czas posiłkowano się pojęciem pochodnej i granicy bez ich ścisłej definicji, b) Użyte pojęcia i sformułowania wymagają poprawy językowej, 1/5 artykułu na temat oznaczeń....
Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu.
Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Liczby naturalne – podstawowy typ liczb, rozumiany dwojako^[1][2]:

• w sensie szerszym są to moce zbiorów skończonych: 0, 1, 2...;
• w sensie węższym są to moce niepustych zbiorów skończonych: 1, 2, 3...

Liczby te opisują liczności i kolejności, przez co odpowiadają liczebnikom głównym i porządkowym. Dodatnie liczby naturalne są używane przez ludzi od prehistorii i częściowo też przez inne gatunki zwierząt^[3], a do ich zapisu wprowadzono cyfry. Czasy historyczne przyniosły dalszy rozwój matematyki, w tym rozumienia liczb naturalnych:

• pojęcie zera;
• efektywny zapis – systemy pozycyjne, a potem też notację wykładniczą służącą m.in. do dużych liczb naturalnych oraz strzałkową do jeszcze większych;
• ścisłe definicje, oparte na teorii mnogości.

Zbiór wszystkich liczb naturalnych oznacza się symbolem ${\displaystyle \mathbb {N} }$^[1]. Jest przedmiotem badań różnych działów matematyki jak arytmetyka – elementarna, wyższa i modularna – oraz kombinatoryka, inne obszary matematyki dyskretnej, algebra i metamatematyka. Liczbami naturalnymi definiuje się inne struktury jak:

• liczby całkowite, konstruowane z nich liczby wymierne, rzeczywiste i ich dalsze uogólnienia;
• ciągi – są to funkcje, których dziedziną jest podzbiór zbioru liczb naturalnych^[4];
• zbiory przeliczalne^[5][6].