Macierz antyhermitowska

Macierz antyhermitowska – macierz kwadratowa ${\displaystyle A}$ o elementach zespolonych ${\displaystyle a_{i,j},}$ w której elementy leżące symetrycznie względem głównej przekątnej są wzajemnie zminusowanym sprzężeniem:

${\displaystyle a_{i,j}=-{\overline {a_{j,i}}}.}$

Symbolicznie można to zapisać jako:

${\displaystyle A^{\dagger }=-A,}$

gdzie ${\displaystyle \dagger }$ oznacza sprzężenie hermitowskie macierzy^[1][2].

Macierze antyhermitowskie można traktować jako zespolony odpowiednik rzeczywistych macierzy antysymetrycznych lub jako macierzowy odpowiednik liczb urojonych (wraz z zerem)^[3].

Macierze antyhermitowskie wymiaru ${\displaystyle n\times n}$ tworzą algebrę Liego ${\displaystyle u(n),}$ która generuje grupę Liego ${\displaystyle U(n)}$ macierzy unitarnych.

Macierze antyhermitowskie o śladzie równym 0 wymiaru ${\displaystyle n\times n}$ tworzą algebrę Liego ${\displaystyle su(n),}$ która generuje grupę Liego ${\displaystyle U(n)}$ specjalnych macierzy unitarnych (tj. macierzy unitarnych o wyznaczniku równym 1).

Pojęcie może zostać uogólnione na przekształcenia liniowe zespolonej przestrzeni wektorowej z normą półtoraliniową.