Para dwoista

Para dwoista albo dualna – w algebrze liniowej para modułów nad ustalonym pierścieniem z formą dwuliniową określoną na ich iloczynie kartezjańskim i nazywaną dalej „parowaniem” oznaczanym symbolem ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle ;}$ „parowaniem” nazywa się również samą konstrukcję pary dwoistej (oraz wynik tej operacji). Para dualna nazywana jest doskonałą, jeżeli jej parowanie jest niezdegenerowane^[a] (jeśli powstała para dwoista jest doskonała, to parowanie również nazywa się wtedy doskonałym). Doskonałe pary dualne umożliwiają utożsamienie jednego modułu z modułem dualnym do drugiego, a więc rozpoznanie danego modułu jako dualnego do innego nawet wtedy, gdy nie został on pierwotnie zdefiniowany w ten sposób.

Przestrzeń euklidesową ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ utożsamia się zwykle z jej przestrzenią dualną za pomocą standardowego iloczynu skalarnego; ponieważ jest on dodatnio określoną, a więc niezdegenerowaną formą dwuliniową ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ,}$ to parowanie to jest doskonałe. Utożsamienie to przyczyniło się prawdopodobnie do pewnego zastoju rozwoju algebry liniowej, gdyż dostrzeżenie, że przestrzeń dualna może być sama w sobie przedmiotem badań, wymaga pewnej wnikliwości w przypadku przestrzeni euklidesowych, gdzie nie różni się ona niczym od przestrzeni wyjściowej^[b]. To, że przestrzeń sprzężona jest obiektem samodzielnym względem oryginalnej przestrzeni zauważono po raz pierwszy w kontekście analizy funkcjonalnej, gdzie bada się zwykle pary doskonałe przestrzeni liniowych nad wspólnym ciałem. Umożliwiają one mianowicie rozpoznanie struktury ważniejszych z punktu widzenia tej dziedziny przestrzeni sprzężonych topologicznie (przestrzeni ciągłych funkcjonałów liniowych nazywanych dalej „przestrzeniami sprzężonymi”), a nie zwykle dużo większych od nich przestrzeni sprzężonych algebraicznie (przestrzeni wszystkich funkcjonałów liniowych nazywanych dalej „przestrzeniami dualnymi”)^[c] – przykładowo przestrzenie sprzężone do przestrzeni funkcji ciągłych są przestrzeniami miar, a więc funkcji nieciągłych.