Test Kruskala-Wallisa

Test Kruskala-Wallisa – rangowy test statystyczny porównujący rozkłady zmiennej w ${\displaystyle k>2}$ populacjach. Test nie zakłada normalności rozkładów. Niekiedy uważany jest^[1][2] za nieparametryczną alternatywę dla jednoczynnikowej analizy wariancji pomiędzy grupami.

Hipotezą zerową ${\displaystyle H_{0}}$ jest równość dystrybuant rozkładów w porównywanych populacjach.

Danymi wejściowymi jest ${\displaystyle n}$ -elementowa próba statystyczna podzielona na ${\displaystyle k}$ rozłącznych grup o licznościach ${\displaystyle n_{1},n_{2},\dots n_{k}.}$ Zakłada się, że każda grupa jest losowana z innej populacji.

Wykonywane jest rangowanie całej próby (połączone wszystkie grupy). Niech ${\displaystyle R_{ij}}$ oznacza rangę w całej próbie ${\displaystyle j}$-tego elementu z ${\displaystyle i}$-tej grupy.

Statystyka testowa Kruskala-Wallisa:

${\displaystyle T={\frac {12}{n(n+1)}}\sum \limits _{i=1}^{k}n_{i}\left({\overline {R}}_{i}-{\frac {n+1}{2}}\right)^{2},}$

gdzie:

${\displaystyle {\overline {R}}_{i}={\frac {1}{n_{i}}}\sum _{j=1}^{n_{i}}R_{ij}.}$

Statystyka ta jest miarą odstępstwa średnich próbkowych rang od wartości średniej wszystkich rang, równej ${\displaystyle (n+1)/2.}$

Dokładne obliczenie rozkładu tej statystyki wymagałoby sprawdzenia wszystkich układów rang. W praktyce, do obliczania p-wartości korzysta się z twierdzenia, mówiącego, że przy (jednocześnie):

• spełnionej hipotezie H₀
• ciągłym rozkładzie cechy w porównywanych populacjach
• minimalnych licznościach grup ${\displaystyle n_{1},n_{2},n_{3}>5}$ dla ${\displaystyle k=3}$ lub ${\displaystyle n_{1},n_{2},\dots ,n_{k}>4}$ dla ${\displaystyle k>3}$

zachodzi:

${\displaystyle P\{T\leqslant t\}\to P\{\chi _{k-1}^{2}\leqslant t\}}$ dla ${\displaystyle t\to \infty ,}$

gdzie ${\displaystyle \chi _{k-1}^{2}}$ to zmienna o rozkładzie chi-kwadrat z ${\displaystyle k-1}$ stopniami swobody.