Axioma da escolha

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Na matemática, o axioma da escolha é um axioma da teoria dos conjuntos equivalente à afirmação "o produto de uma coleção não-vazia de conjuntos é não-vazio". Mais explicitamente, diz que para toda família indexada ${\displaystyle (S_{i})_{i\in I}}$ de conjuntos não-vazios existe uma família indexada ${\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}$ de elementos tal que ${\displaystyle x_{i}\in S_{i}}$ para todo ${\displaystyle i\in I.}$ Foi formulado em 1904 por Ernst Zermelo.^[1] Até o início do século XX era um axioma controverso, mas graças ao trabalho de Zermelo, Hilbert^{[carece de fontes?]} e outros matemáticos, o axioma da escolha foi satisfatoriamente modelado em lógica simbólica, resultando na teoria de conjuntos padrão da matemática contemporânea, a teoria ZFC - Zermelo-Fraenkel-Choice.

Uma motivação para seu uso é que um número de resultados matemáticos gerais aceitos, como o teorema de Tychonoff, necessitam do axioma da escolha para sua prova. Teóricos contemporâneos da teoria dos conjuntos também estudam axiomas que não são compatíveis com o axioma da escolha, como o axioma da determinação. O axioma da escolha é evitado em algumas várias matemáticas construtivas, embora existam várias matemáticas construtivas onde o axioma da escolha é vivo.