Conjunto gerador de um grupo

Este artigo não cita fontes confiáveis. Ajude a inserir referências. Conteúdo não verificável pode ser removido.—Encontre fontes: ABW  • CAPES  • Google (notícias • livros • acadêmico) (Janeiro de 2022)

Em álgebra abstrata, o conjunto gerador de um grupo é um subconjunto formado por elementos do grupo tal que todo elemento do grupo possa ser expresso como uma combinação (utilizando a operação do grupo) finita dos elementos do conjunto gerador e de seus inversos.

Em outras palavras, se ${\displaystyle S}$ for um subconjunto do grupo ${\displaystyle G}$, então ${\displaystyle \langle S\rangle }$, o subgrupo gerado por ${\displaystyle S}$, é o menor subgrupo de ${\displaystyle G}$ contendo todo elemento de ${\displaystyle S}$, que é igual à intersecção de todos os subgrupos que contêm os elementos de ${\displaystyle S}$; de forma equivalente, ${\displaystyle \langle S\rangle }$ é o subgrupo de todos os elementos de ${\displaystyle G}$ que podem ser exprimidos como um produto finito dos elementos de ${\displaystyle S}$ e de seus inversos. (Nota-se que inversos são necessários somente se o grupo for infinito; em um grupo finito, o inverso de um elemento pode ser expresso como uma potência do mesmo elemento.)

Se ${\displaystyle G=\langle S\rangle }$, então diz-se que ${\displaystyle S}$ gera ${\displaystyle G}$, e o elementos em ${\displaystyle S}$ são chamados de generators ou geradores do grupo. Se ${\displaystyle S}$ for o conjunto vazio, então ${\displaystyle \langle S\rangle }$ é o grupo trivial ${\displaystyle \{e\}}$, já que se considera o produto vazio como sendo o elemento identidade do grupo.

Quando se há apenas um único elemento ${\displaystyle x}$ em ${\displaystyle S}$, ${\displaystyle \langle S\rangle }$ é usualmente denotado ${\displaystyle \langle x\rangle }$. Neste caso, ${\displaystyle \langle x\rangle }$ é o subgrupo cíclico das potências de ${\displaystyle x}$, e diz-se que esse grupo é gerado por ${\displaystyle x}$. É equivalente dizer que um elemento ${\displaystyle x}$ gera um grupo ou dizer que ${\displaystyle \langle x\rangle }$ é igual ao grupo inteiro ${\displaystyle G}$. Para grupos finitos, também é equivalente dizer que ${\displaystyle x}$ tem ordem ${\displaystyle |G|}$.

Um grupo pode precisar de um número infinito de geradores. Por exemplo, o grupo aditivo dos números racionais ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ não é finitamente gerado; ele é gerado pelos inveross dos inteiros, porém qualquer quantidade finita desses geradores pode ser removida do conjunto gerador sem que ele deixe de ser um conjunto gerador. Em um caso como esse, todos os elementos do conjunto gerador ainda são ditos "elementos não-geradores", como de fato são todos os elementos do grupo.

Se ${\displaystyle G}$ é um grupo topológico então um subconjunto ${\displaystyle S}$ de ${\displaystyle G}$ é chamado de um conjunto de geradores topológicos se ${\displaystyle \langle S\rangle }$ for denso em ${\displaystyle G}$, isto é o fecho de ${\displaystyle \langle S\rangle }$ é todo o grupo ${\displaystyle G}$.