Desigualdade de Weyl

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Em álgebra linear, Desigualdade de Weyl é um teorema sobre como os autovalores de um matriz hermitiana são perturbados. Esse teorema de 1912 carrega o nome de seu autor Hermann Weyl. Esse resultado é útil se quisermos saber os autovalores da matriz Hermitiana H, mas há uma incerteza sobre as entradas de H.^[1] Este resultado era conhecido no Século 19, mas não foi publicado na íntegra ^[2]

Seja H a matriz exata e P ser uma matriz de perturbação que representa a incerteza. Considere a matriz ${\displaystyle \scriptstyle M\,=\,H\,+\,P}$. Seja M com autovalores ${\displaystyle \mu _{1}\geq \cdots \geq \mu _{n}\,}$, H com autovalores ${\displaystyle \nu _{1}\geq \cdots \geq \nu _{n}\,}$ e P com autovalores ${\displaystyle \rho _{1}\geq \cdots \geq \rho _{n}\,}$

O teorema afirma que se M, H e P são todas matrizes Hermitianas n por n, então a seguinte desigualdade vale para ${\displaystyle \scriptstyle i\,=\,1,\dots ,n}$:

${\displaystyle \nu _{i}+\rho _{n}\leq \mu _{i}\leq \nu _{i}+\rho _{1}.\,}$

Se P é positiva definida (e.g. ${\displaystyle \scriptstyle \rho _{n}\,>\,0}$) então isso implica que

${\displaystyle \mu _{i}>\nu _{i}\quad \forall i=1,\dots ,n.\,}$

Note que podemos ordenar os autovalores porque as matrizes são Hermitiana e, portanto, os autovalores são reais.