Fibrado de linhas

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Em matemática, um fibrado de linhas expressa o conceito de uma linha que varia de ponto a ponto do espaço. Por exemplo uma curva no plano tendo uma linha tangente em cada ponto determina uma linha variante: o fibrado tangente é um modo de organizar estas. Mais formalmente, em topologia algébrica e topologia diferencial um fibrado de linhas é definido como um fibrado vectorial de ordem 1.^[1]

Existe uma diferença evidente entre fibrados de linhas reais monodimensionais (como já descrito) e fibrados de linhas complexos monodimensionais. De fato a topologia das matrizes reais 1×1 invertíveis e matrizes complexas é inteiramente diferente: a primeira delas é uma homotopia espacial equivalente a um espaço discreto de dois pontos (reais positivos e negativos contraidos), enquanto o segundo tem o tipo homotópico de um círculo.

Um fibrado de linhas real está entretanto no cerne da teoria de homotopia assim como um fibrado com um fibrado de dois pontos - uma cobertura dupla. Isto relembra a cobertura dupla orientada sobre uma variedade diferenciável: na verdade esse é um caso especial no qual o fibrado de linhas é o fibrado determinante (produto exterior superior) do fibrado tangente. A fita de Möbius corresponde à dupla cobertura do círculo (o mapeamento θ → 2θ) e pode ser visto como se nós tivéssemos um fibrado de dois pontos, o intervalo unitário ou a linha real: os dados são equivalentes.

No caso do fibrado de linhas complexo, nós estamos procurando, de fato, também por fibrados circulares. Existem alguns celebrados, por exemplo as fibrações de Hopf de esferas para esferas.