Grupo livre

Em matemática, um grupo livre com base ${\displaystyle S}$ é um par ordenado ${\displaystyle (F_{S},i)}$, onde ${\displaystyle F_{S}}$ é um grupo, ${\displaystyle S}$ é um conjunto não-vazio, e ${\displaystyle i:S\rightarrow F_{S}}$ é uma função injetora. Além disto, ${\displaystyle F_{S}}$ e ${\displaystyle \varphi }$ devem satisfazer a seguinte propriedade universal:

Isto é, se ${\displaystyle f:S\rightarrow G}$ é uma função de ${\displaystyle S}$ com contradomínio ${\displaystyle G}$, então existe um único homomorfismo φ${\displaystyle :F_{S}\rightarrow G}$ tal que o diagrama acima comuta, onde a seta de ${\displaystyle S}$ em ${\displaystyle F_{S}}$ é a aplicação ${\displaystyle i}$.

É possível mostrar que dois grupos livres com base de mesma cardinalidade são isomorfos entre si.

A definição de grupo livre dada acima é uma definição não-construtiva, visto que é dada por uma propriedade universal. No entanto, dado um conjunto ${\displaystyle S}$, existe uma construção padrão de ${\displaystyle F_{S}}$, que é a soma direta de ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ com índices em ${\displaystyle S}$. É possível mostrar que este é um grupo livre sobre ${\displaystyle S}$.