Identidade de Euler

A função exponencial natural $e z$ pode ser definida como o limite de $(1 + z N) N$ , quando $N$ tende ao infinito, e assim $e i π$ é o limite de $(1 + i π N) N$ . Nesta animação $N$ assume vários valores crescentes de 1 a 100. O cálculo de $(1 + i π N) N$ é mostrado como efeito combinado de $N$ multiplicações repetidas no plano complexo, com o ponto final sendo o valor de $(1 + i π N) N$ . Pode ser visto que quando $N$ cresce $(1 + i π N) N$ aproxima o limite −1.

Em matemática, a identidade de Euler é representada pela equação

e^{i\pi }+1=0

.

Segundo Richard Feynman seria a identidade mais bela de toda a matemática. A equação aparece na obra de Leonhard Euler Introdução, publicada em Lausanne em 1748. Nesta equação, e é a base do logaritmo natural, $i$ é a unidade imaginária (número imaginário com a propriedade i² = -1), e $\pi$ é a constante de Arquimedes pi (π, a razão entre o perímetro e o diâmetro de qualquer circunferência).

A beleza da equação é que ela relaciona cinco números fundamentais da matemática: e, pi, i, 0 e 1; e as operações base da matemática: adição, multiplicação e exponenciação.

Identidade de Euler

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