Integral Gaussiana

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A Integral Gaussiana, também conhecida como a Integral de Euler-Poisson é a integral da função Gaussiana e^−x2 em toda a reta real. Seu nome é dado em homenagem ao matemático e físico Carl Friedrich Gauss. A integral vale:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}.}$

Essa integral tem diversas aplicações em ciências exatas, como física ou estatística, visto que a distribuição normal descreve uma gama imensa de fenômenos de interesse.

A mesma integral com limites finitos é chada função erro. Apesar da função erro não poder ser exprimida em termos de funções elementares, como pode ser demonstrado pelo algoritmo de Risch, a integral gaussiana pode ser calculada explicitamente sobre toda a reta. Em outros termos, não há uma integral indefinida elementar para ${\displaystyle \scriptstyle \int e^{-x^{2}}\,dx}$, mas a integral definida ${\displaystyle \scriptstyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx}$ pode ser calculada.