Matriz hermitiana

Em matemática, sobretudo na álgebra linear, uma matriz auto-adjunta, hermitiana ^{(português brasileiro)} ou hermítica ^{(português europeu)} é uma matriz quadrada complexa que é igual à sua própria transposta conjugada - ou seja, o elemento na i-ésima linha e j-ésima coluna é igual ao conjugado complexo do elemento na j-ésima linha e i-ésima coluna, para todos os índices i e j: $${\displaystyle A{\text{ hermitiana}}\quad \iff \quad a_{ij}={\overline {a_{ji}}}}$$

ou em forma de matriz: $${\displaystyle A{\text{ hermitiana}}\quad \iff \quad A={\overline {A^{\mathsf {T}}}}.}$$

Matrizes hermitianas podem ser entendidas como a extensão complexa das matrizes simétricas reais.

Se a conjugada transposta de uma matriz ${\displaystyle A}$ for indicada por ${\displaystyle A^{\mathsf {H}},}$ a propriedade hermitiana pode ser escrita de forma concisa como $${\displaystyle A{\text{ hermitiana}}\quad \iff \quad A=A^{\mathsf {H}}}$$

As matrizes hermitianas recebem este nome em homenagem a Charles Hermite, que demonstrou em 1855 que matrizes desse tipo compartilham uma propriedade com matrizes simétricas reais de sempre ter autovalores reais. Outras notações equivalentes de uso comum são ${\displaystyle A^{\mathsf {H}}=A^{\dagger }=A^{\ast },}$ no entanto observe que na mecânica quântica, ${\displaystyle A^{\ast }}$ tipicamente significa apenas a conjugada complexa, e não a transposta da conjugada .