Teorema de Midy

Parte da série sobre
sistemas de numeração
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v d e

Em matemática, o teorema de Midy, em homenagem ao matemático francês E. Midy,^[1] é uma declaração sobre a expansão decimal das frações a/p onde p é primo e a/p tem uma expansão decimal periódica com um período par (sequência A028416 no OEIS).^[2] Se o período da representação decimal de a/p é 2n, de modo que

${\displaystyle {\frac {a}{p}}=0.{\overline {a_{1}a_{2}a_{3}\dots a_{n}a_{n+1}\dots a_{2n}}}}$

então os dígitos na segunda metade do período decimal periódico são o complemento de 9s dos dígitos correspondentes em sua primeira metade. Em outras palavras,

${\displaystyle a_{i}+a_{i+n}=9}$

${\displaystyle a_{1}\dots a_{n}+a_{n+1}\dots a_{2n}=10^{n}-1.}$

Por exemplo,

${\displaystyle {\frac {1}{13}}=0.{\overline {076923}}{\text{ e }}076+923=999.}$

${\displaystyle {\frac {1}{17}}=0.{\overline {0588235294117647}}{\text{ e }}05882352+94117647=99999999.}$