Teorema da compacidade

O Teorema da Compacidade assegura que um conjunto ${\displaystyle \Gamma \,\!}$ qualquer formado por fórmulas bem formadas de um cálculo de predicados de primeira ordem é satisfazível se, e somente se, todo subconjunto finito ${\displaystyle \Gamma _{0}\,\!}$ de ${\displaystyle \Gamma \,\!}$ também é satisfazível. Ou seja, se ${\displaystyle \Gamma \vdash \alpha }$, então, qualquer que seja ${\displaystyle \Gamma _{0}=\{\alpha _{1}{,...,}\alpha _{n}\}}$, com ${\displaystyle \Gamma _{0}\subseteq \Gamma }$, tem-se que ${\displaystyle \Gamma _{0}\vdash \alpha }$; reciprocamente, se, qualquer que seja ${\displaystyle \Gamma _{0}\subseteq \Gamma }$, tem-se que ${\displaystyle \Gamma _{0}\vdash \alpha }$, então ${\displaystyle \Gamma \vdash \alpha }$.

Este teorema denota uma importante propriedade para a lógica de predicados, pois garante que toda e qualquer fórmula é derivável (ou logicamente implicada, no caso semântico) a partir de um conjunto finito de premissas.

No caso proposicional, a propriedade da compacidade é consequência do Teorema de Tychonoff (que assegura que o produto de espaços compactos também é compacto) aplicado a espaços de Stone compactos, e daí segue o nome do teorema.