Teorema de Noether

O teorema de Noether é um resultado da teoria de sistemas dinâmicos. A primeira versão do teorema foi demonstrada em 1918^[1] por Emmy Noether.

Ela provou que toda grandeza física conservativa corresponde a um grupo contínuo de simetrias das equações. Simetria aqui é entendida como uma transformação matemática que deixa as equações inalteradas em sua essência, sendo que todas as simetrias possíveis formam um grupo (no sentido matemático do termo). Um grupo contínuo é um grupo de simetrias definidas por um número que pertence ao conjunto dos Reais.

O enunciado do teorema do ponto de vista matemático diz que para cada grupo uniparamétrico de difeomorfismos de um sistema dinâmico Lagrangeano existe uma constante do movimento.^[2] Em mais detalhes, em um sistema de equações diferenciais ordinárias nas funções no tempo ${\displaystyle t}$, ${\displaystyle x(t),y(t),\ldots }$, dada uma solução das equações ${\displaystyle x_{1}(t),y_{1}(t),\ldots }$, e uma operação nesta solução que dependa de um parâmetro real e que seja contínua ${\displaystyle x_{1}(t)\rightarrow x_{2}(t),y_{1}(t)\rightarrow y_{2}(t),\ldots }$ de tal forma que ${\displaystyle x_{2}(t),y_{2}(t),\ldots }$ é também solução do mesmo sistema, então existe uma constante independente do tempo associada a esta transformação.

Por exemplo, se a equação em questão for a segunda lei de Newton e a transformação for a rotação dos eixos espaciais ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ ou ${\displaystyle z}$ na direção do eixo de simetria ${\displaystyle z}$ por um ângulo (real) ${\displaystyle \theta }$, que formam um contínuo, então a grandeza física conservativa associada é o momento angular (na direção do eixo ${\displaystyle z}$). Outros dois exemplos importantes são: a família de translações numa determinada direção do espaço leva a conservação da quantidade de movimento, e a simetria temporal implica a conservação da energia.

Informalmente, podemos apresentar o teorema de Noether dizendo que: "Para cada família de simetrias corresponde uma lei de conservação".^[3]

A versão quântica do teorema está associada a diferentes resultados, como o chamado teorema de Wigner e o teorema de Stone.^[4]

Referências