Transformada de Abel

Em Matemática, a Transformada de Abel, enunciada por Niels Henrik Abel, é uma transformada integral utilizada em análise de projeções de funções que apresentam simetria esférica ou axial, como, por exemplo, na estimativa da distribuição de massa em galáxias a partir de observações astronômicas, na obtenção da variação de parâmetros atmosféricos com a altitude a partir da ocultação de ondas de rádio pela Terra^[1] e na análise da imagem captada por uma câmara de TV que varre uma faixa estreita.^[2] Podem-se definir 4 versões diferentes para a transformação, denotadas aqui por ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{1}}$ a ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{4}}$, cada uma delas sendo útil na solução de determinados problemas. Não há consenso na literatura a respeito da numeração a ser atribuída a cada versão.^[3]

A versão mais usada da transformada de Abel de uma função f(r) é dada por:

${\displaystyle F(y)=2\int _{y}^{\infty }{\frac {f(r)r\,dr}{\sqrt {r^{2}-y^{2}}}}.}$

Assumindo f(r) indo a zero mais rapidamente que 1/r, a correspondente transformada inversa é dada por:

${\displaystyle f(r)=-{\frac {1}{\pi }}\int _{r}^{\infty }{\frac {dF}{dy}}\,{\frac {dy}{\sqrt {y^{2}-r^{2}}}}.}$^[2][3]

Essa versão é um caso especial da transformada de Radon bidimensional.^[3] Ela também pode ser relacionada com a transformada de Hankel e com a transformada de Fourier por meio do teorema da fatia central.^[4]

A transformada de Abel também está associada ao tema das transformadas fracionais, tendo sido Abel um dos primeiros a explorar o Cálculo Fracional. As equações integrais (fracionárias) de Riemann-Liouville e de Weyl podem ser resolvidas com ajuda da transformada de Abel, após a conveniente substituição de variáveis.^[5] Derivadas fracionárias aparecem frequentemente também na descrição da dinâmica da condução de calor em sólidos e da transmissão de sinais elétricos por cabos metálicos.^[2]