Transformada de Haar

Esta página cita fontes, mas que não cobrem todo o conteúdo. Ajude a inserir referências (Encontre fontes: ABW  • CAPES  • Google (notícias • livros • acadêmico)). (Junho de 2012)

A Transformada de Haar é um transformada matemática discreta usada no processamento e análise de sinais, na compressão de dados e em outras aplicações de engenharia e ciência da computação. Ela foi proposta em 1909 pelo matemático húngaro Alfred Haar. A transformada de Haar é um caso particular de transformada discreta de wavelet, onde o wavelet é um pulso quadrado definido por:

${\displaystyle \psi (t)={\begin{cases}1,&0\leq t<0.5\\-1,&0.5\leq t<1.\\0,&{\mbox{para outros valores de }}t\end{cases}}}$

Na figura vemos ilustrada a wavelet de Haar. Apesar de ter sido proposta muito antes do termo wavelet^[1] ser cunhado, a wavelet de Haar é considerada como um caso particular das wavelets de Daubechies, conhecida por isso como wavelet de Daubechies D2.

A transformada de Haar pode ser usada para representar um grande número de funções ${\displaystyle f(t)}$ como sendo o somatório:

${\displaystyle f(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{c_{k}\phi (t-k)}+\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\sum _{j=0}^{\infty }{d_{j,k}\psi (2^{j}t-k)}},}$ onde ${\displaystyle \phi (t)}$ é a função de escala definida por ${\displaystyle \phi (t)={\begin{cases}1,&0\leq t<1\\0,&{\mbox{para outros valores de }}t,\end{cases}}}$ e ${\displaystyle c_{k}}$ e ${\displaystyle d_{j,k}}$ são parâmetros a serem calculados.

Por exemplo, a função degrau definida por:

${\displaystyle f(t)={\begin{cases}5,&0\leq t<0.5\\3,&0.5\leq t<1,\end{cases}}}$

pode ser representada como ${\displaystyle f(t)=4\phi (t)+\psi (t)\,}$. O seja os parâmetros ${\displaystyle c_{0}=4}$ e ${\displaystyle d_{0,0}=1}$, e ${\displaystyle c_{n}=0}$ e ${\displaystyle d_{n,m}=0}$ para ${\displaystyle n\neq 0,m\neq 0}$. O vetor ${\displaystyle (4,1)}$ equivale a transformada discreta de Haar da função f(t), que pode ser representada também na forma vetorial como ${\displaystyle (5,3)}$.