Transformada de Laplace

Em matemática, a transformada de Laplace é uma transformada integral epónimo a seu descobridor, o matemático e astrônomo Pierre-Simon Laplace (/ləˈplɑːs/), que utilizou uma forma semelhante em seus trabalhos de Teoria da Probabilidade. A sua teoria foi desenvolvida mais a fundo entre o século XIX e o início do século XX por Matyáš Lerch, Oliver Heaviside e Thomas John I'Anson Bromwich.

A transformada gera uma função de variável ${\displaystyle s}$ (frequência) a partir de uma função de variável ${\displaystyle t}$ (tempo) e vice-versa.

Dada uma simples descrição matemática ou funcional de entrada ${\displaystyle -}$ ou saída ${\displaystyle -}$ de um sistema, a transformada de Laplace fornece uma descrição alternativa que, em um grande número de casos, diminui a complexidade do processo de análise do comportamento do sistema ou sintetiza um novo sistema baseado em características específicas. Nesse sentido, a transformada de Laplace converte uma equação diferencial em equação algébrica e uma convolução em multiplicação.

A atual aplicação da transformada (principalmente em engenharia) foi inicialmente descoberta durante a Segunda Guerra Mundial e substituiu o cálculo operacional.$${\displaystyle {\mathcal {B}}\{f(t)\}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }f(t)\ e^{-st}\operatorname {d} \!t\ \ \ \ {\begin{aligned}&{\mathsf {Forma\ pura\ (ou\ bilateral)}}\\&{\mathsf {da\ transformada\ de\ Laplace}}\end{aligned}}}$$Quando fala-se em "transformada de Laplace" sem especificação, geralmente, refere-se à forma unilateral. A transformada de Laplace é originalmente definida pela forma bilateral, em que ${\displaystyle \liminf =-\infty }$ e ${\displaystyle \limsup =\infty }$. Assim, a transformada unilateral ${\displaystyle -}$ em que qualquer argumento é múltiplo da função de Heaviside, ${\displaystyle u(t-a)}$ ${\displaystyle -}$ torna-se apenas um caso especial devido ao intervalo de domínio da função de Heaviside.$${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(t)\}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\lim _{\ \ \alpha \to 0^{+}}\int _{\alpha }^{\infty }f(t)\ e^{-st}\ \operatorname {d} \!t\ \ {\begin{aligned}&{\mathsf {Forma\ unilateral}}\\&{\mathsf {da\ transformada\ de\ Laplace}}\end{aligned}}}$$A transformada de Laplace ${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(t)\}}$ da função ${\displaystyle f(t)}$é uma função de ${\displaystyle s}$, que representa a frequência. Utilizamos então como notação a letra maiúscula para a transformada e letra minúscula para a função.

Ex: ${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(t)\}=F(s)}$ ou ${\displaystyle {\mathcal {L}}\{g(t)\}=G(s)}$.

Para calcular a transformada de Laplace de uma função aplicamos a integral e definimos algumas condições para podermos tirar o limite.

Ex: ${\displaystyle f(t)=1}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{1\}=\int _{0}^{\infty }1\cdot e^{-st}dt}$

${\displaystyle =\lim _{a\to \infty }\int _{0}^{a}e^{-st}dt}$

${\displaystyle =\lim _{a\to \infty }{\dfrac {(1-e^{-sa})}{s}}}$, porém esse limite só existe se o ${\displaystyle s>0}$.

Então conclui-se que:

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{1\}={\frac {1}{s}}}$

Agora se considerarmos que ${\displaystyle f(t)=t}$ realizando as integrações necessárias (por partes) concluímos que:

=${\displaystyle {\mathcal {L}}\{t\}=\left[{\frac {te^{-st}}{-s}}\right]_{0}^{\infty }-\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-st}}{-s}}\,dt}$

=${\displaystyle \left[{\frac {te^{-st}}{-s}}\right]_{0}^{\infty }+{\frac {1}{s}}\int _{0}^{\infty }{e^{-st}}\,dt}$

=${\displaystyle {\mathcal {L}}\{t\}={\frac {1}{s^{2}}}}$

Com isso concluímos uma expressão para a transformada de ${\displaystyle t^{n}}$:

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{t^{n}\}={\frac {n!}{s^{n+1}}},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ s>0}$

A transformada de Laplace possui diversas aplicações na ciência e na tecnologia.