Ortoplex

Ortoplexuri în 2 până la 5 dimensiuni

2 dimensiuni pătrat	3 dimensiuni octaedru
4 dimensiuni 4-ortoplex	5 dimensiuni 5-ortoplex

În geometrie, un ortoplex^[1] (plural ortoplexuri), hiperoctaedru sau cocub este un politop regulat, convex n-dimensional. Un ortoplex 2-dimensional este un pătrat, un ortoplex 3-dimensional este un octaedru regulat, iar un ortoplex 4-dimensional este un 4-ortoplex (sau 16-celule). Fațetele sunt simplexuri în dimensiunea imediat inferioară, în timp ce figurile vârfurilor sunt alte ortoplexuri, din dimensiunile anterioare.

Vârfurile unui ortoplex pot fi alese ca versori orientați de-a lungul fiecărei axe de coordonate, adică toate permutările a (±1, 0, 0, …, 0). Ortoplexul este anvelopa convexă a vârfurilor. Ortoplexul n-dimensional poate fi definit de asemenea ca o Sferă unitate (sau, după unii autori doar frontierele sale) în spații normate în Rⁿ:

${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ^{n}:\|x\|_{1}\leq 1\}.}$

Într-o singură dimensiune ortoplexul este un simplu segment [−1, +1], în două dimensiuni este un pătrat (sau romb) cu vârfurile {(±1, 0), (0, ±1)}. În trei dimensiuni este un octaedru — unul din cele cinci corpuri poliedre regulate convexe. Seria poate fi generalizată în dimensiuni suplimentare printr-un n-ortoplex construit ca o n-piramidă dublă având baza un (n−1)-ortoplex.

Ortoplexul este politopul dual al hipercubului. 1-scheletul unui ortoplex n-dimensional este un graf Turán^⁠(d) T(2n,n).