Poliedru cvasiregulat

Figuri cvasiregulate Domenii ale triunghiurilor dreptunghice (p q 2), = r{p,q} r{4,3} r{5,3} r{6,3} r{7,3}... r{∞,3} (3.4)2 (3.5)2 (3.6)2 (3.7)2 (3.∞)2 Domenii ale triunghiurilor isoscele (p p 3), = = h{6,p} h{6,4} h{6,5} h{6,6} h{6,7}... h{6,∞} = = = = = (4.3)4 (5.3)5 (6.3)6 (7.3)7 (∞.3)∞ Domenii ale triunghiurilor isoscele (p p 4), = = h{8,p} h{8,3} h{8,5} h{8,6} h{8,7}... h{8,∞} = = = = = (4.3)3 (4.5)5 (4.6)6 (4.7)7 (4.∞)∞ Domeniul triunghiului scalen (5 4 3), (3.5)4 (4.5)3 (3.4)5 Un poliedru sau pavare cvasiregulată are exact două tipuri de fețe regulate, care alternează în jurul fiecărui vârf. Figurile vârfurilor lor sunt poligoane izogonale.

Figuri regulate și cvasiregulte Domenii ale triunghiurilor dreptunghice (p p 2), = = r{p,p} = {p,4}1⁄2 {3,4}1⁄2 r{3,3} {4,4}1⁄2 r{4,4} {5,4}1⁄2 r{5,5} {6,4}1⁄2 r{6,6}... {∞,4}1⁄2 r{∞,∞} = = = = = (3.3)2 (4.4)2 (5.5)2 (6.6)2 (∞.∞)2 Domenii ale triunghiurilor isoscele (p p 3), = = {p,6}1⁄2 {3,6}1⁄2 {4,6}1⁄2 {5,6}1⁄2 {6,6}1⁄2... {∞,6}1⁄2 = = = = = (3.3)3 (4.4)3 (5.5)3 (6.6)3 (∞.∞)3 Domenii ale triunghiurilor isoscele (p p 4), = = {p,8}1⁄2 {3,8}1⁄2 {4,8}1⁄2 {5,8}1⁄2 {6,8}1⁄2... {∞,8}1⁄2 = = = = = (3.3)4 (4.4)4 (5.5)4 (6.6)4 (∞.∞)4 Un poliedru sau pavare regulate pot fi considerate cvasiregulate dacă au un număr par de fețe în jurul fiecărui vârf (și astfel poate avea fețele colorate alternativ).

În geometrie un poliedru cvasiregulat este un poliedru uniform care are exact două tipuri de fețe regulate, care alternează în jurul fiecărui vârf. Ele sunt tranzitive pe vârfuri și pe laturi, deci mai apropiate de poliedrele regulate decât cele semiregulate, care sunt tranzitive doar pe vârfuri.

Dualele lor sunt tranzitive pe fețe și laturi; au exact două tipuri de figuri ale vârfului, regulate, care alternează în jurul fiecărei fețe. Uneori acestea sunt considerate și ele cvasiregulate.

Există doar două poliedre convexe cvasiregulate: cuboctaedrul și icosidodecaedrul. Numele lor, date de Kepler, provin din recunoașterea faptului că fețele lor sunt toate fețele perechii duale cub și octaedru în primul caz, și a perechii duale icosaedru și dodecaedru în cazul al doilea.

Aceste forme reprezentând o pereche a unei figuri regulate și duala acesteia pot primi un simbol Schläfli vertical ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}}$ sau r{p,q}, care să descrie faptul că fețele lor sunt toate fețele (în ordine diferită) ale celor două forme regulate, {p,q} și duala sa {q,p}. Un poliedru cvasiregulat cu acest simbol va avea o configurație a vârfului p.q.p.q (sau (p.q)²).

Mai general, o figură cvasiregulată poate avea configurația vârfului (p.q)^r, reprezentând r (2 sau mai multe) secvențe de fețe în jurul vârfului.

Pavările planului pot fi și ele cvasiregulate, de exemplu pavarea trihexagonală, cu configurația vârfului (3.6)². Alte pavări cvasiregulate există în planul hiperbolic, cum ar fi pavarea triheptagonală, (3.7)². Sau, în general: (p.q)², cu 1/p + 1/q < 1/2.

Poliedrele și pavările regulate cu un număr par de fețe la fiecare vârf pot fi considerate și cvasiregulate prin diferențierea între fețele de același ordin, prin reprezentarea lor diferită sau colorarea lor alternativă (fără a defini orientarea suprafeței). O figură regulată cu simbolul Schläfli {p,q} poate fi considerată cvasiregulată, cu configurația vârfului (p.p)^q/2, pentru q par.

Exemple

Octaedrul regulat, cu simbolul Schläfli {3,4}, deoarece 4 este par poate fi considerat cvasiregulat, ca tetratetraedru (2 seturi de 4 triunghiuri ale tetraedrului), cu configurația vârfului (3.3)^4/2 = (3_a.3_b)², alternând două culori ale fețelor triunghiulare.

Pavarea pătrată, cu configurația vârfului 4⁴, deoarece 4 este par poate fi considerată cvasiregulată, cu configurația vârfului (4.4)^4/2 = (4_a.4_b)², colorată ca tabla de șah.

Pavarea triunghiulară, cu configurația vârfului 3⁶, deoarece 6 este par poate fi considerată cvasiregulată, cu configurația vârfului (3.3)^6/2 = (3_a.3_b)³, alternând două culori ale fețelor triunghiulare.