Konusni presjek

U matematici stožasti ili konusni presjek (ponekad stožnica) označava krivulju koja se dobije presjecanjem stošca s ravninom. Konusni presjeci se proučavaju od 200. pne. kada je njihovo sistemnatsko proučavanje započeo Apolonije iz Perge.

Postoje različiti slučajevi presjeka.

Dijele se na:

• degenerisane

1. tačka
2. prava
3. dvije prave koje se sijeku

• degenerisane krive II stepena čine 2 prave koje mogu biti

1. par pravi sa presjekom u konačnosti (ukrštene prave)
2. par konjugovano imaginarnih pravi sa realnim presjekom u konačnosti (ukrštene imaginarne prave)
3. par pravi sa presjekom u beskonačnosti (paralelne prave)
4. par konjugovano imaginarnih pravi sa realnim presjekom u beskonačnosti (paralelne imaginarne prave)
5. dvostruka realna prava u konacnosti
6. dvostruka prava u konačnosti i prava u beskonačnosti
7. dvostruka beskonačno daleka prava

• nedegenerisane

Svaka kriva II stepana i prava u njenoj ravni mogu imati 2 zajedničke tačke. Te tačke mogu biti

1. realne i različite - prava i kriva se sijeku
2. realne i podadarne - prava i kriva se dodiruju
3. konjugirano imaginarne - prava i kriva se ne sijeku

Hiperbola je nedegenerisana kriva II stepena koju sijeće beskonačno daleka prava

Parabola je nedegenerisana kriva II stepena koju beskonačno daleka prava dodiruje u beskonačno dalekoj tački njene ose.

Elipsa je nedegenerisana kriva II stepena koja nema realnih tačaka na beskonačno dalekoj pravoj

Kupu II stepena možemo posmatrati kao skup pravi koji spajaju tačke neke nedegenerisane konike s jednom tačkom u konačnosti koja ne leži u ravni te konike. Istaknutu tačku nazivamo vrhom kupe, a spojnice tog vrha s tačkama konike izvodnicama kupe.

Valjak II stepena možemo posmatrati kao skup pravi koji spajaju tačke neke nedegenerisane konike s jednom beskonačno dalekom tačkom koja ne leži u ravni te konike. Te paralelne prave nazivamo izvodnicama valjka, a njihov beskonačno daleki presjek vrhom valjka.

Ako ravan prolazi vrhom kupe ili valjka II stepena presječna kriva je degenerisana konika. (Ravan paralelna s izvodnicama valjka prolazi njegovim beskonačno dalekim vrhom). Degenerisane konike koje mogu biti rezultat takvog sječenja su sljedeće:

1. par realnih ukrštenih pravi (presjek može biti samo na kupi),
2. par realnih paralelnih pravi (presjek može biti samo na valjku),
3. jedna dvostruk prava (ravan je tangencijalna ravan kupe ili valjka),
4. par konjugirano imaginarnih pravi sa presjekom u konačnosti (presjek može biti samo na kupi),
5. par konjugirano imaginarnih paralelnih pravi (presjek može biti samo na valjku).

Svaka ravan koja ne prolazi vrhom kupe II stepena sijeće tu kupu po nedegenerisanoj konici. Ta je konika:

1. Hiperbola, ako je presječna ravan paralelna s 2 izvodnice kupe
2. Parabola, ako je presječna ravan paralelna s jednom izvodnicom kupe
3. elipsa, ako presječna ravan nije paralelna niti s jednom izvodnicom kupe

Za razliku od kupe, na kojem uvijek postoje sva tri tipa nedegenerisanih konika, na valjku II stepena uvijek postoji samo jedan tip nedegenerisanih konika. Beskonačno daleka ravan prolazi beskonačno dalekim vrhom valjka i siječe ga u dvije izvodnice. Te izvodnice mogu biti:

1. realne i različite,
2. realne i podudarne (beskonačno daleka ravan tangencijalna je ravan valjka)
3. par konjugirano imaginarnih pravi.

Zavisno o tome kakav je njegov presjek s beskonačno dalekom ravni valjak II stepena je:

1. hiperbolički
2. parabolički
3. eliptički

Ravan koja nije paralelna s izvodnicama valjka II stepena siječe:

1. hiperbolički valjak uvijek po hiperboli
2. parabolički uvijek po paraboli
3. eliptički uvijek po elipsi.

U analitičkoj geometriji, konika se može definisati kao ravanska algebarska kriva II reda. Konike su značajne za mnoge oblasti:

• u astronomiji: nebeska tijela se kreću putanjama koje su konike
• u optici konstrukcija sočiva i ogledala
• u mehanici
• često se primjenjuju i u paleontologiji za razumjevanje izgleda određenih organizama.

Za konusne presjeke se definišu elementi konusnih presjeka:

1. centar
2. ose
3. dijametri
4. asimptote
5. asimptotske prave
6. polare i
7. tangente

Za sve konike, osim kruga, važi da postoji tačka ${\displaystyle F}$ koja se naziva žiža konike, i prava ${\displaystyle d}$ koja se naziva direktrisa takve da je odnos rastojanja proizvoljne tačke ${\displaystyle M}$ konike do žiže ${\displaystyle F'}$ i direktrise ${\displaystyle d}$ konstantan.

${\displaystyle e={\frac {MF}{d(M,d)}}}$

Taj odnos se naziva ekscentricitetom konike i označava sa ${\displaystyle e}$.

• za ${\displaystyle 0<e<1}$ konika je elipsa
• za ${\displaystyle e=0}$ konika je krug
• za ${\displaystyle e=1}$ konika je parabola
• za ${\displaystyle e>1}$ konika je hiperbola.

${\displaystyle r={\frac {l}{1-e\cos {\theta }}}}$,
${\displaystyle l={\frac {b^{2}}{a}}}$, gdje su ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$ poluose konike.

${\displaystyle d}$ (direktrisa) konstantna veličina.

Žiža kruga je ujedno i njegov centar, a direktrisa je beskonačno daleka prava.

Elipsa i hiperbola imaju dvije žiže odgovarajuće direktrise.

Parabola ima samo jednu žižu i jednu direktrisu.

Još jedna osobina zajednička za sve konike, osim parabole, je linearni ekscentricitet. Linearni ekscentricitet predstavlja udaljensost centra konike do njene žiže, ili jedne od žiža. Najčešće se označava sa ${\displaystyle c}$.

Tetiva koja prolazi kroz žižu ili jednu od dvije žiže konike i paralelna je direktrisi naziva se latus rectum. Žižni (fokusni) parametar konike je rastojanje između žiže, ili jedne od žiža konike, i direktrise. Označava se sa ${\displaystyle p}$.

konika	kanonska jednačina	ekscentricitet ${\displaystyle e}$	linearni ekscentricitet (${\displaystyle c}$)	latus rectum (${\displaystyle l}$)	fokusni parametar(${\displaystyle p}$)
krug	${\displaystyle {x^{2}}+{y^{2}}=r^{2},\ r>0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle r}$	${\displaystyle \infty }$
elipsa	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,\ a>b>0}$	${\displaystyle {\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {{a^{2}}-{b^{2}}}}}$	${\displaystyle {\frac {b^{2}}{a}}}$	${\displaystyle {\frac {b^{2}}{\sqrt {{a^{2}}-{b^{2}}}}}}$
parabola	${\displaystyle y^{2}=2px,\ p>0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 2a}$	${\displaystyle 2a}$
hiperbola	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,\ a,b>0}$	${\displaystyle {\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {{a^{2}}+{b^{2}}}}}$	${\displaystyle {\frac {b^{2}}{a}}}$	${\displaystyle {\frac {b^{2}}{\sqrt {{a^{2}}+{b^{2}}}}}}$