Binomska vrsta

Binomska vrsta je funkcijska vrsta funkcije ${\displaystyle (1+x)^{m}\,}$.

Če se razvije polinom:

${\displaystyle f(x)=(1+x)^{m}\!\,}$

okrog točke 0:

${\displaystyle (a=0),m\in \mathbb {R} \!\,}$ v Taylorjevo vrsto

${\displaystyle f^{\prime }(x)=m(1+x)^{m-1}\quad f^{\prime }(0)=0\!\,}$

${\displaystyle f^{\prime \prime }(x)=m(m-1)(1+x)^{m-2}\qquad f^{\prime \prime }(0)=1\!\,}$

${\displaystyle f^{(k)}(x)=m(m-1)\ldots (m-k+1)(1+x)^{m-k}\!\,.}$

Opomba: če je ${\displaystyle m\in \mathbb {N} \,}$, ima vrsta končno členov - od ${\displaystyle (m+1)\,}$ dalje so vsi enaki 0.

Če ${\displaystyle m\notin \mathbb {N} \,}$, ${\displaystyle m\neq 0\,}$, ima vrsta neskončno členov, se dobi:

${\displaystyle f(x)=(1+x)^{m}=1+{\frac {m}{1!}}x+{\frac {m(m-1)}{2!}}x^{2}+\ldots +{\frac {m(m-1)\ldots (m-k+1)}{k!}}x^{k}\!\,.}$

Definira se binomski simbol:

${\displaystyle {m \choose k}={\frac {m(m-1)\ldots (m-k+1)}{k!}};\qquad m\in \mathbb {R} \quad k\in \mathbb {N} \cup {0}\!\,}$

${\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{(n-k)!k!}};\qquad m\in \mathbb {R} \quad k\in \mathbb {N} \cup {0}\!\,}$

in tako je binomska vrsta:

${\displaystyle (1+x)^{m}=\sum _{k=0}^{\infty }{m \choose k}x^{k}\!\,.}$