Legendrova funkcija hi

Legendrova funkcija hi (običajna označba ${\displaystyle \chi _{\nu }(z)\,}$) je v matematiki specialna funkcija katere Taylorjeva vrsta je tudi Dirichletova vrsta. Imenuje se po francoskem matematiku Adrienu-Marieu Legendru. Definirana je kot neskončna vrsta:

${\displaystyle \chi _{\nu }(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{2k+1}}{(2k+1)^{\nu }}},\qquad (|z|\leq 1,\Re (\nu )>1,\nu \in \{0,\mathbb {Z} ^{+}\})\!\,.}$

Kot taka je podobna Dirichletovi vrsti za funkcijo polilogaritma in se jo res da trivialno izraziti v členih polilogaritma kot:

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi _{\nu }(z)&={\frac {1}{2}}\left[\operatorname {Li} _{\nu }(z)-\operatorname {Li} _{\nu }(-z)\right]\\&=\operatorname {Li} _{\nu }(z)-2^{-\nu }\operatorname {Li} _{\nu }\left(z^{2}\right)\!\,.\end{aligned}}}$

Legendrova funkcija ${\displaystyle \chi _{\nu }(z)\,}$ se pojavlja v diskretni Fourierjevi transformaciji glede na red ν Hurwitzeve funkcije ζ(s, q)^[1] in tudi kot Eulerjevi polinomi z eksplicitnimi zvezami podanimi v posameznih člankih.

Legendrova funkcija ${\displaystyle \chi _{\nu }(z)\,}$ je posebni primer Lerchevega transcendenta ${\displaystyle \Phi (z,s,\alpha )\,}$ in je na ta način podana kot:

${\displaystyle \chi _{\nu }(z)=2^{-\nu }z\,\Phi (z^{2},\nu ,1/2)\!\,.}$

1. ↑ Cvijović; Klinowski (1999).