Riemannova funkcija zeta

Riemannova funkcija zeta ali Euler-Riemannova funkcija zeta (običajna označba ${\displaystyle \zeta (s)}$) je v matematiki in še posebej v analitični teoriji števil specialna funkcija, definirana za vsako kompleksno število s z realnim delom > 1 z neskončno vrsto kot:^[1]

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}\!\,.}$

V območju ${\displaystyle {s:\Re (s)>1}\,}$, ta Dirichletova vrsta konvergira in definira holomorfno funkcijo. (V tem izrazu ${\displaystyle \Re \,}$ pomeni realni del kompleksnega števila.) Bernhard Riemann je ugotovil, da se lahko funkcijo ζ razširi s pomočjo analitičnega nadaljevanja na en sam način v holomorfno funkcijo ${\displaystyle \zeta (s)\,}$, definirano za vsa kompleksna števila s, za katera velja s ≠ 1. Pokazal je naprej kako se razširi funkcija ${\displaystyle \zeta (s)\,}$ na vse kompleksne vrednosti s, različne od 1. Tako definirana funkcija postane meromorfna funkcija kompleksne spremenljivke s, ki je holomorfna na območju s ≠ 1 kompleksne ravnine in ima enostavni pol v s = 1:^[2]

${\displaystyle \zeta (s)={\begin{cases}\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1-2^{-s}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(2n-1)^{s}}};&\Re (s)>1\\\displaystyle {\frac {\eta (s)}{1-2^{1-s}}};&\Re (s)>0,s\neq 1\!\,,\end{cases}}}$

kjer je ${\displaystyle \eta (s)\,}$ Dirichletova funkcija η, definirana kot alternirajoča vrsta:

${\displaystyle \eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n^{s}}}\!\,.}$

Tako dobljena funkcija je predmet Riemannove domneve. Kompleksna spremenljivka s je velikokrat napisana v obliki ${\displaystyle s=\sigma +it}$, kjer je ${\displaystyle \sigma =\Re (s)\,}$ realni del s in ${\displaystyle t=\Im (s)}$ imaginarni del s. Riemann je podal funkcijsko enačbo za funkcijo ζ, ki povezuje vrednosti v s in 1 - s.

Vrednosti Riemannove funkcije ζ za soda pozitivna cela števila je izračunal Euler. Vrednost ζ(2) je rešitev baselskega problema. Leta 1979 je Apéry dokazal iracionalnost vrednosti ζ(3). Vrednosti v negativnih celoštevilskih točkah, ki jih je tudi našel Euler, so racionalne in so pomembne v teoriji modularnih form. Znanih je več posplošitev Riemannove funkcije ζ, kot na primer Dirichletove vrste, Dirichletove L-funkcije (Dirichletova funkcija β, Dirichletova funkcija η, Dirichletova funkcija λ), Hurwitzeva funkcija ζ in L-funkcije.

1. ↑ Abramowitz; Stegun (1972), str. 807.
2. ↑ Adamchik; Srivastava (1998).