Nilai ekspektasi

Sacara umum harepan (Ing. expectation, ékspéktasi)) nyaéta téténjoan nu leuwih mungkin ngeunaan kajadian. Hasil nu kurang nguntungkeun ngalantarankeun naékna émosi kateupanujuan. Lamun sababaraha kajadian mangrupa hal nu teu sakabéhna diperkirakeun disebutna surprise. Tingali ogé antisipasi.

Dina kamungkinan (hususna dina judi), niléy harepan (atawa harepan) tina variabel acak mangrupa jumlah probabiliti unggal hasil nu mungkin tina sababaraha percobaan ku hasilna ("nilai"). Mangka, ieu gambaran rata-rata ngeunaan hiji "harepan" keur meunang unggal tarohan lamun éta tarohan idéntik teu sarua unggal waktu pangulangan. Catetan, niléy éta sorangan teu bisa di-ekspektasi sacara umum, saperti teu mirip atawa kajadian nu teu mungkin.

Contona, Roulette Amérika mibanda 38 hasil kamungkinan. Tarohan disimpen dina hiji angka bayaran 35-ka-1 (ieu hartina yén manéhna mayar 35 kali tarohan, sabalikna ogé alungan manéhna dibalikeun, bareng jeung 36 kali dina alunganna). Mangka nilai ekspektasi hasil kauntungan tina unggal $1 alungan dina hiji wilangan nyaéta, tempo 38 sakabéh hasil nu mungkin: ( -1 × 37/38 ) + ( 35 × 1/38 ), ieu kira-kira -0.0526. Sanajan hiji ekspektasi, dina average, leungit leuwih ti 5 keur unggal dollar alungan.

Sacara umum, lamun X mangrupa variabel acak dihartikeun dina rohangan probabiliti (Ω, P), mangka nilai ekspektasi EX tina X dirumuskeun salaku

${\displaystyle \operatorname {E} X=\int _{\Omega }XdP}$

nu mana ngagunakeun integral Lebesgue. Catetan yén teu sakabéh variabel random ngabooan nilai ekspektasi, lamun integralna euweuh. Dua variabel sebaran probabiliti nu sarua bakal mibanda nilai ekspektasi nu sarua.

Lamun X nyaéta variabel random diskrit mibanda nilaix₁, x₂, ... sarta probabiliti pakait p₁, p₂, ... nu ditambahkeun ka 1, mangka EX bisa iitung salaku jumlah atawa deret

${\displaystyle \operatorname {E} X=\sum _{i}p_{i}x_{i}}$

saperti dina conto gambling di luhur.

Lamun sebaran probabiliti X aya dina fungsi probabiliti densiti f(x), mangka nilai ekspektasi bisa diitung ku

${\displaystyle \operatorname {E} X=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)dx.}$

Operator nilai ekspektasi (atawa operator ekspektasi) E mangrupa linier di hal ieu

E(aX + bY) = a EX + b EY

keur unggal dua variabel random X jeung Y (nu perlu dihartikeun dina rohangan probabiliti nu sarua) sarta dua wilangan riil a jeung b.

Nilai ekspektasi power X disebut moments X; moments about the mean X ogé dihartikeun salaku nilai ekspektasi nu penting.

Umumna, operator nilai ekspektasi teu multiplicative, contona E(XY) teu sarua jeung EX EY, iwal ti lamun X jeung Y variabel bebas. Bedana, sacara umum, ningkat jadi kovarian jeung korelasi.

keur estimasi nilai ekspektasi variabel random, bisa dipaké nilai ukuran pengulangan variabel sarta perhitungan hasil tina arithmetic mean. Estimasi ieu nilai ekspektasi nu sabenerna sarta sipat nga-minimal-keun kuadrat kasalahan nilai nilai ekspektasi.