Lagranges ekvationer

Lagranges ekvationer är ett centralt begrepp inom analytisk mekanik och används för att bestämma rörelsen för ett mekaniskt system. Ekvationerna kan härledas ur Newtons rörelselagar och fick via förarbete av Leonhard Euler sin slutgiltiga formulering 1788 av Joseph Louis Lagrange.

För ett mekaniskt system med ${\displaystyle n}$ frihetsgrader kan systemets läge beskrivas av ${\displaystyle n}$ generaliserade koordinater ${\displaystyle {q}_{i}}$. De generaliserade koordinaternas tidsderivator ${\displaystyle {\dot {q}}_{i}}$ benämns generaliserade hastigheter. För ett konservativt system, det vill säga ett system där den mekaniska energin bevaras, kan Lagrangefunktionen ${\displaystyle L}$ definieras som skillnaden mellan den kinetiska och den potentiella energin. Lagrangefunktionen kan då uttryckas som en funktion av de generaliserade koordinaterna och hastigheterna som satisfierar Lagranges ekvationer och har formen

${\displaystyle {\operatorname {d} \over \operatorname {d} \!t}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=0,\qquad i=1,2,\dots ,n\qquad (1)}$

Lösningen till ekvationssystemet med gällande begynnelsevillkor ger de generaliserade koordinaterna som funktioner av tiden, vilket bestämmer systemets rörelse.