Metriskt rum

Inom matematiken är ett metriskt rum en mängd X tillsammans med en funktion ${\displaystyle d:X\times X\to \mathbb {R_{0}^{+}} }$ sådan att dessa villkor gäller för alla element ${\displaystyle x,y,z\in X}$:^[1]

1. ${\displaystyle d\left(x,y\right)=d\left(y,x\right)}$
2. ${\displaystyle d\left(x,y\right)=0\Leftrightarrow x=y}$
3. ${\displaystyle d\left(x,y\right)\leq d\left(x,z\right)+d\left(z,y\right)}$

Funktionen betecknas vanligen ${\displaystyle d}$ (som ovan) eller ${\displaystyle \rho }$, och kallas metrik, eller avståndsfunktion (och dess värde avstånd). Om ekvivalensen i andra villkoret ersätts med en vänsterimplikation får man en pseudometrik.

Genom att kombinera alla tre villkoren ser vi att alla avstånd måste vara icke-negativa, ty för alla ${\displaystyle x,y\in X}$ gäller

${\displaystyle 0=d(x,x)\leq d(x,y)+d(y,x)=d(x,y)+d(x,y)=2d(x,y).}$

För punkter i ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ med den vanliga metriken är villkoren (1)-(3) uppenbara. Villkor (2) motsvarar att två punkter ${\displaystyle P}$ och ${\displaystyle Q}$ har avstånd ${\displaystyle 0}$ om och endast om ${\displaystyle P=Q}$. Villkor (3) är triangelolikheten: för tre punkter ${\displaystyle P,Q}$ och ${\displaystyle R}$ gäller att avståndet mellan ${\displaystyle P}$ och ${\displaystyle R}$ är mindre eller lika med summan av avståndet mellan ${\displaystyle P}$ och ${\displaystyle Q}$ samt avståndet mellan ${\displaystyle Q}$ och ${\displaystyle R}$.