Monoid

En monoid är inom abstrakt algebra ett par ${\displaystyle (M,*)}$ (ofta säger man bara ${\displaystyle M}$ och menar hela monoiden), där ${\displaystyle M}$ är en mängd och ${\displaystyle *}$ är en binär operator på ${\displaystyle M}$, vilken lyder följande regler:

• slutenhet: för alla ${\displaystyle a,b}$ i ${\displaystyle M}$, är ${\displaystyle a*b}$ i ${\displaystyle M}$ (detta följer egentligen direkt ur att * är en binär operator, och behöver inte specificeras separat)
• neutralt element: det finns ett element ${\displaystyle e}$ i ${\displaystyle M}$, så att för alla ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle a*e=e*a=a}$.
• associativitet: * är en associativ operator; det vill säga, ${\displaystyle (a*b)*c=a*(b*c)}$ för alla ${\displaystyle a,b,c}$ i ${\displaystyle M}$.

Med andra ord är en monoid en semigrupp med ett neutralt element.

En kommutativ monoid eller abelsk monoid är en monoid där operatorn även är kommutativ, dvs.:

• ${\displaystyle a*b=b*a}$ för alla ${\displaystyle a,b}$ i ${\displaystyle M}$.

${\displaystyle (D,*)}$ sägs vara en submonoid till en monoid ${\displaystyle (M,*)}$ om ${\displaystyle D}$ är en delmängd till ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle D}$ innehåller det neutrala elementet och för alla ${\displaystyle a,b}$ i ${\displaystyle D}$ så ligger även ${\displaystyle a*b}$ i ${\displaystyle D}$. ${\displaystyle (D,*)}$ är då även monoid i sig själv.