Skalfaktor

Med skalfaktor avses oftast kosmisk skalfaktor, parametern ${\displaystyle a}$ i Friedmanns ekvationer.^[1] Den är i regel en funktion av tiden och representerar metrikens relativitet i universums expansion. Skalfaktorn relaterar egenavståndet (som kan ändras med tiden, i motsats till det medflyttande avståndet som är konstant) mellan ett par objekt, till exempel två galaxkluster, som rör sig med Hubble-flödet i ett expanderande eller kontraherande FLRW universum vid någon godtycklig tidpunkt ${\displaystyle t}$ till deras avstånd vid en referenstidpunkt ${\displaystyle t_{0}}$. I matematisk notation:

${\displaystyle d(t)=a(t)d_{0},\,}$

där ${\displaystyle d(t)}$ är egenavståndet vid epoken ${\displaystyle t}$. ${\displaystyle d_{0}}$ är avståndet vid referenstidpunkten ${\displaystyle t_{0}}$ och ${\displaystyle a(t)}$ är skalfaktorn.^[2] Således är per definition, ${\displaystyle a(t_{0})=1}$.

Skalfaktorn är dimensionslös, med ${\displaystyle t}$ räknad från universums födelse och ${\displaystyle t_{0}}$ satt till gällande värde på universums ålder: ${\displaystyle 13,798\pm 0,037\,\mathrm {Gyr} }$,^[3] vilket ger det gällande värdet på ${\displaystyle a}$ som ${\displaystyle a(t_{0})}$ eller ${\displaystyle 1}$.

Skalfaktorns utveckling är en dynamisk fråga, som bestäms av allmänna relativitetsteorins ekvationer, vilka i fallet med ett lokalt isotropiskt, lokalt homogent universum representeras av Friedmanns ekvationer.

Hubbleparametern definieras:

${\displaystyle H\equiv {{\dot {a}}(t) \over a(t)}}$

där punkten avser en gängse tidsderivata. Från det föregående uttrycket ${\displaystyle d(t)=d_{0}a(t)}$ ser man att ${\displaystyle {\dot {d}}(t)=d_{0}{\dot {a}}(t)}$, och således ${\displaystyle d_{0}={\frac {d(t)}{a(t)}}}$. Kombinera dessa ger ${\displaystyle {\dot {d}}(t)={\frac {d(t){\dot {a}}(t)}{a(t)}}}$, och substituera definitionen av Hubbleparametern ovan, ger ${\displaystyle {\dot {d}}(t)=Hd(t)}$ vilket är just Hubbles lag.