Dalga denklemi

Dalga denklemi fizikte çok önemli yere sahip bir kısmi diferansiyel denklemdir. Bu denklemin çözümlerinden, ses, ışık ve su dalgalarının hareketlerini betimleyen fiziksel nicelikler çıkar. Kullanım alanı, akustik, akışkanlar mekaniği ve elektromanyetikte oldukça fazladır. Genellikle elektromanyetik dalgalar gibi dalgalar için dalga denkleminin vektörel formülasyonu kullanılır. Bu formülasyonda elektrik alanları ${\displaystyle (E_{x},E_{y},E_{z})}$ şeklindeki vektörlerle gösterebilir ve vektörün her bi bileşeni skaler dalga denklemine uymak zorundadır. Yani vektörel dalga denklemleri çözülürken her bir bileşen ayrı ayrı çözülür. Denklemin en basit hali aşağıdaki şekliyle gösterilir,

${\displaystyle {\partial ^{2} \over \partial t^{2}}u=c^{2}({\partial ^{2}u \over \partial x_{1}^{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial x_{2}^{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial x_{3}^{2}}+....)}$

Burada c reel bir sabittir ve genellikle dalganın hızıdır, u bir dalganın pozisyonunu gösterir, t zamandır ve x dalganın uzaydaki pozisyonudur. Denklemin dalga hareketinde bulunan herhangi bir u skaler büyüklüğü için birkaç diğer gösterimleri aşağıdaki gibidir,

Gösterim	Açıklama
${\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}D_{t}^{2}\right)u=0}$	${\displaystyle D_{t}={\frac {\partial }{\partial t}}}$ operatörü
${\displaystyle c^{2}\nabla ^{2}u-u_{tt}=0}$	${\displaystyle u_{tt}\,}$: u'nun zamana göre 2. türevi
${\displaystyle \square u=0}$	${\displaystyle \square }$: d'Alembert İşlemcisi

Dalganın dağılması, yani ilerledikçe başka başka frekanslar haline bürünmesi olgusu (dağılım) göz önüne alınırsa denklemde c yerine faz hızı ${\displaystyle v_{f}={\frac {w}{k}}}$ kullanılır. Ayrıca daha gerçekçi sistemlerde hızın, dalganın genliğine bağlı olduğu dikkate alındığından denklem doğrusal olmayan

${\displaystyle \left(cu^{2}\nabla ^{2}-D_{t}^{2}\right)u=0}$

şeklinde biçimlenir.